Metoda charakterystyk - przykłady

Na poniższym przykładzie prześledzimy różne sposoby praktycznego wykorzystania metody charakterystyk, które umownie nazwiemy metodą krzywych charakterystycznych, metodą charakterystyk, metodą zmiany zmiennych oraz metodą całek pierwszych.
Znaleźć rozwiązanie równania

(1)

\( xu_x+yu_y=u, \)

przechodzące przez krzywą

(2)

\( x=s,\hskip 0.3pc y=s+1,\hskip 0.3pc z=2, \hskip 0.7pc s\in \mathbb{R}. \)

Przykład 1: Metoda krzywych charakterystycznych

Rozwiązując równanie charakterystyk

\( \dfrac{dx}{dt}=x, \quad\dfrac{dy}{dt}=y,\quad \dfrac{du}{dt}=u, \)

otrzymamy

\( x=Ae^t, \quad y=Be^t,\quad u=Ce^t. \)

Załóżmy, że charakterystyka przechodzi przez punkt \( \hskip 0.3pc (s,s+1,2) \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t=0. \hskip 0.3pc \) Wynika stąd, że

\( A=s,\quad B=s+1,\quad C=2. \)

Zatem równania charakterystyk przechodzących przez zadaną krzywą mają postać

\( x=se^t,\quad y=(s+1)e^t, \quad u=2e^t. \)

Eliminując z tego układu \( \hskip 0.3pc s \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 )

\( u=2(y-x). \)

Przykład 2: Metoda charakterystyk

Rozwiązując równanie charakterystyk

\( \dfrac{dx}{dt}=x, \quad\dfrac{dy}{dt}=y, \)

z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(0)=1,\hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( x=e^t, \quad y=y_0e^t, \)

a po wyrugowaniu \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \)

\( \dfrac yx=y_0. \)

Rozwiązując pozostałe równanie charakterystyk

\( \dfrac{dz}{dt}=z, \)

otrzymamy

\( z=Ce^t, \)

gdzie stała \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) zależy od krzywej \( \hskip 0.3pc \dfrac yx =y_0. \hskip 0.3pc \) Fakt ten możemy zapisać w postaci

\( z=F(y_0)e^t, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \) Wracając do zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( u=F\big(\tfrac yx\big)x. \)

Uwzględniając zadane warunki mamy

\( 2=F\big(1+\tfrac 1s\big)s. \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc \tau =1+\dfrac 1s \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( F(\tau )=2(\tau -1). \)

Zatem szukane rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) ma postać

\( u=2\big(\dfrac yx-1\big)x =2(y-x). \)

Przykład 3: Metoda zmiany zmiennych

Rozwiązując równanie charakterystyk

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x} \)

otrzymamy \( \hskip 0.3pc y=Cx. \hskip 0.3pc \) Zmiana zmiennych

\( \xi =x,\hskip 0.6pc \eta =\dfrac{y}{x} \)

sprowadza równanie wyjściowe do postaci

\( \xi \dfrac{dw}{d\xi}=w. \)

Rozwiązując to równanie otrzymamy

\( w= \xi\,F(\eta), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracają do zmiennych wyjściowych otrzymamy całkę ogólną równania wyjściowego

\( u(x,y) = x F\big(\tfrac{y}{x}\big). \)

Uwzględniając warunek początkowy \( \hskip 0.3pc u(s,s+1)=2 \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( 2= s F\big(\tfrac{s+1}{s}\big). \)

Kładąc \( \hskip 0.3pc t=\dfrac{s+1}{s}, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc s=\dfrac{1}{t-1}, \hskip 0.3pc \) mamy

\( 2= \dfrac{1}{t-1} F(t). \)

Zatem \( \hskip 0.3pc F(t)=2(t-1).\hskip 0.3pc \) Stąd szukane rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) ma postać

\( u(x,y)= 2\big(\dfrac{y}{x} -1\big)x = 2(y-x). \)

Przykład 4: Metoda całek pierwszych

Rozwiązując równania

\( \dfrac{dx}{x} =\dfrac{dy}{y},\qquad \dfrac{dx}{x}= \dfrac{du}{u}, \)

otrzymamy rodziny charakterystyk

\( \dfrac yx=C_1,\quad \dfrac ux =C_2. \)

Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc \psi_1 = \dfrac yx, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \psi_2 =\dfrac ux \hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnmi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk

\( \dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}= \dfrac{du}{u}, \)

zgodnie z wzorem Metoda charakterystyk dla równań liniowych o n-zmiennych niezależnych-( 8 ) całka ogólna równania wyjściowego ma postać

\( F\Big(\dfrac yx,\,\dfrac ux \Big)=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych. Zauważmy, że wzór na całkę ogólną możemy formalnie zapisać w postaci \( \hskip 0.3pc F(C_1,C_2)=0, \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc C_1 =\psi_1,\hskip0.3pc C_2 =\psi_2.\hskip 0.3pc \) Aby znaleźć całkę szczególną przechodzącą przez zadaną krzywą należy wyznaczyć funkcje \( \hskip 0.3pc F. \hskip 0.3pc \) W tym celu wystarczy wyznaczyć związek pomiędzy \( \hskip 0.3pc C_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc C_2. \hskip 0.3pc \) Możemy go uzyskać rugując \( \hskip 0.3pc s,\hskip 0.3pcx,\hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) z równań

\( \dfrac yx =C_1,\quad \dfrac ux =C_2,\quad x=s,\quad y=s+1,\quad u=2. \)

Po przeprowadzeniu prostych rachunków otrzymamy

\( C_2=2(C_1-1). \)

Podstawiając w miejsce \( \hskip 0.3pc C_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc C_2 \hskip 0.3pc \) stosowne funkcje mamy

\( \dfrac ux =2\Big( \dfrac yx -1 \Big). \)

Stąd otrzymujemy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 )

\( u=2(y-x). \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie równania

\( u_x+u u_y=u^2, \)

które na krzywej \( \hskip 0.3pc y=\ln x \hskip 0.3pc \) przyjmuje wartość \( \hskip 0.3pc u=1, \hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc u(x,\,\ln x)=1. \hskip 0.3pc \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Znaleźć całkę ogólną równania

\( (y+z) u_x+y u_y+(x-y) u_z=0. \)

Zadanie 3:

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

\( y u_x-4x^3 u_y=y u^2. \)

Zadanie 4:

Treść zadania:

Znaleźć całkę ogólną równania

\( x^2 u_x+y^2 u_y=(x+y) u. \)

Zadanie 5:

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie równania

\( (y-z) u_x+(z-x) u_y+(x-y) u_z=0. \)

Matematyka

Metoda charakterystyk - przykłady

Przykład 1: Metoda krzywych charakterystycznych

Przykład 2: Metoda charakterystyk

Przykład 3: Metoda zmiany zmiennych

Przykład 4: Metoda całek pierwszych

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 3:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 4:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 5:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: